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Découvrez mes publications, les conférences et conférences auxquelles j’ai participé et mes intérêts de recherche.
Publications
42026› Numerical resolution of 2D nonlinear shallow-water equations with a partly immersed surface obstacle (Part II) En préparation
32026› Numerical resolution of 2D nonlinear shallow-water equations with a partly immersed surface obstacle (Part I) En préparation
22025› A high-order robust subcell monolithic DG/FV formulation for nonlinear shallow-water equations on unstructured grids Soumis
La stratégie repose ensuite sur l'introduction de flux numériques mixtes, définis comme des combinaisons convexes de flux DG d'ordre élevé reconstruits et de flux FV robustes de premier ordre. Les coefficients de mélange sont calculés localement à chaque subcell interface afin d'appliquer les propriétés de stabilité non linéaire inévitables. Cela permet au système de rester stable en présence de forts gradients, de chocs et wet-dry fronts, tout en conservant une précision d'ordre élevé dans les régions lisses.
Une attention particulière est portée à la formulation discrète associée au terme source bathymétrique. Le régime est conçu pour être well-balanced pour les régimes stationnaires immobiles, grâce à un réglage fin des reconstructions locales de type hydrostatique, respectivement appliquées à deux échelles différentes et sur deux types d'approximations différentes : i) au niveau des flux DG entre éléments, en se concentrant sur des reconstructions appropriées de traces polynomiales d'ordre élevé, ii) au niveau des flux FV entre subcells, en se concentrant sur la reconstruction de subcell valeurs constantes par morceaux. Cette reconstruction innovante à deux niveaux garantit que les états stationnaires immobiles sont non seulement préservés avec précision sur des maillages entièrement non structurés, mais également jusqu'au subcell échelle.
Cette nouvelle méthode numérique repose sur un traitement entièrement a priori, et ne nécessite aucune étape de recalcul et d'adaptation a posteriori, tout en restant conservatrice par construction. Plusieurs expériences numériques illustrent sa capacité à capturer avec précision des phénomènes multidimensionnels wet-dry interfaces, pour contrôler les oscillations parasites à proximité des discontinuités classiques et résoudre avec précision les caractéristiques d'écoulement localisées à l'intérieur d'éléments de maillage relativement grands.
12025› Local subcell monolithic DG/FV methods for nonlinear shallow-water models with source terms Soumis
La méthode est fondée sur un modèle classique Discontinuous Galerkin (DG), écrite sous la forme d'une discrétisation particulière en volumes finis (FV) sur une sous-partition, impliquant des flux numériques d'interface d'ordre élevé reconstruits. Dans le présent travail, nous étudions la question importante de la discrétisation des termes sources dans le cadre de tels subcell monolithique DG/FV stratégies, en se concentrant sur les termes sources bathymétriques, ainsi que sur les termes sources différentiels d'ordre supérieur provenant de corrections dispersives pour les modèles asymptotiques d'ordre supérieur. L'originalité de la méthode réside dans l'introduction de flux mélangés a priori, qui sont des combinaisons convexes de flux reconstruits dits d'ordre élevé et de flux FV d'ordre inférieur. Les coefficients de mélange sont calculés de manière adaptative pour chaque subcell interface pour appliquer les propriétés convexes pertinentes au niveau discret, y compris la positivité de la hauteur d'eau. A partir de l’approximation polynomiale par morceaux DG, le terme source bathymétrique est également discrétisé au subcell niveau, et nous prouvons qu'un approprié well-balanced propriété, assurant la préservation des états stationnaires immobiles, peut être obtenue au subcell-échelle s'appuyant sur des combinaisons finement ajustées de divers états reconstruits de type hydrostatique à des niveaux de précision inférieurs/supérieurs, se produisant simultanément à des échelles locales et globales.
Nous présentons également une combinaison originale et efficace de ce nouveau well-balanced locale subcell monolithique DG/FV avec une méthode de Galerkin discontinue de pénalité interne d'ordre élevé, afin de approximer les contributions d’ordre supérieur apparaissant dans le Green-Naghdi équations de manière cohérente et précise. Nous effectuons ensuite des évaluations approfondies des méthodes numériques résultantes, fournissant des informations sur la convergence numérique observée et la robustesse globale, y compris la capacité à préserver les états stationnaires, à empêcher les oscillations non physiques à proximité des discontinuités et à garantir la positivité de la hauteur d'eau au niveau discret.
Conférences et affiches
SHARK-FV26 — Workshop international sur les méthodes de volumes finis d’ordre élevé
Titre. Subcell monolithic DG/FV–HHO–SSP-RK scheme for a new wave-structure interaction model
Emplacement. Minho, Portugal
Date. 04/05/26
Diapositives
Colloque de mathématiques appliquées - Séminaire du groupe de Mathématiques Appliquées à l’UW
Titre. A high-order DG/FV convex property preserving scheme for hyperbolic systems with applications to shallow water flows and fluid-structure interaction
Emplacement. Université de Waterloo, Waterloo, Canada
Date. 19/03/26
Diapositives
CJC-MA - Congrès des Jeunes Chercheur.e.s en Mathématiques Appliquées
Titre. Modeling and numerical simulation of floating structures in shallow-water flows
Emplacement. ENPC, Champs-sur-Marne, France
Date. 02/03/26
Diapositives
Métiers des mathématiques - Conférence donnée aux étudiants de baccalauréat et de maîtrise
Titre. Modèles et méthodes numériques pour les interactions entre vagues et structures flottantes
Emplacement. Montpellier, France
Date. 19/02/26
Diapositives
ICOSAHOM - Congrès international sur la méthode spectrale et d’ordre élevé
Titre. Local subcell monolithic DG/FV scheme for NSW equations with source terms on unstructured grids
Emplacement. Université McGill, Montréal, Canada
Date. 14/07/25
Diapositives
Colloques MIPS - Semaine du pôle Mathématiques, Informatique, Physique, Systèmes
Titre. Designing numerical methods for free-surface flows towards reliable wave-structure interactions
Emplacement. Montpellier, France
Date. 02/06/25
Diapositives
CIMAV - Congrès Interdisciplinaire sur les Modèles Avancés de Vagues
Titre. A high-order robust DG/FV scheme for nonlinear shallow water equations with source terms on unstructured grids
Emplacement. Aussois, France
Date. 13/05/25
Diapositives
doctorat Journée - Séminaire des Doctorants
Titre. Monolithic DG/FV schemes on 1D nonlinear shallow water equations
Emplacement. Montpellier, France
Date. 15/03/24
Affiche
Introduction aux nouveaux arrivants - Séminaire des Doctorants
Titre. Modeling, solving & implementing PDEs from waves-structure interactions
Emplacement. Montpellier, France
Date. 25/10/23
Diapositives
Déclaration de recherche
Mes recherches se situent à l’intersection de la modélisation mathématique, de l’analyse numérique et de l’étude des équations aux dérivées partielles (EDP) décrivant les écoulements de fluides. En particulier, au cours de ma thèse, je me suis concentré sur les systèmes non linéaires de lois d’équilibre hyperbolique, qui servent à modéliser l’évolution des quantités transportées et conservées dans le temps. Ces systèmes prennent la forme générale
où $\mathbf{U}$ représente le vecteur des variables conservées (nos inconnues), $\mathbb{F}$ la fonction de flux qui peut être non linéaire, et $\mathbf{S}$ termes sources possibles résultant de la géométrie, de forces externes ou d’effets de couplage. Le défi mathématique est que même des données initiales fluides peuvent générer des discontinuités en un temps fini, ce qui rend l’étude analytique de tels systèmes extrêmement délicate. En raison du manque de régularité des solutions faibles, seuls des résultats théoriques partiels sont disponibles, et l’approximation numérique de ces phénomènes doit souvent combiner précision d’ordre élevé avec stabilité et robustesse.
Parmi les nombreux exemples de tels systèmes, les équations non linéaires en eau peu profonde (NSW) jouent un rôle central dans la communauté des vagues ; ils fournissent un modèle asymptotique dérivé des équations d’Euler incompressibles sous l’hypothèse d’un petit rapport d’aspect (la profondeur du fluide est beaucoup plus petite que l’échelle horizontale). Malgré leur nature asymptotique, les équations en eaux peu profondes restent extrêmement utiles en pratique. Ils fournissent une description précise des principaux mécanismes physiques régissant les écoulements à surface libre, tout en évitant le coût de calcul prohibitif associé à la résolution des équations d’Euler ou de Navier-Stokes entièrement tridimensionnelles. Ils offrent ainsi un compromis efficace entre réalisme physique et efficacité numérique. Même s’ils ne tiennent pas compte des effets dispersifs (captés dans des modèles plus raffinés comme le Boussinesq ou Green–Naghdi systèmes), ils restent l’une des approximations les plus largement utilisées et les plus robustes pour les simulations pratiques d’écoulement. Étant donné un paramétrage fluide $b$ de la variation bathymétrique, les équations NSW se lisent comme
avec $\mathbf{v} = (\eta,\mathbf{q})^t$, où $\eta$ est l’élévation totale de l’eau, $\mathbf{q}$ est le débit horizontal, et $\mathbf{S}[b](\mathbf{v})$ est un terme source générique pouvant contenir des effets de topographie, de frottement et/ou de Coriolis.
D’un point de vue numérique cependant, leur discrétisation pose plusieurs défis. Capturer à la fois les solutions lisses et les discontinuités nécessite des schémas stables en présence de chocs, préservant la positivité de la hauteur d’eau ($i.e.$ assurer au niveau discret que $H\geq0$), et maintenir des états stationnaires tels que l’équilibre dit « du lac au repos ». De plus, dans de nombreuses configurations réalistes, l’écoulement interagit avec des géométries complexes, des obstacles ou des frontières mobiles, ce qui nécessite des cadres numériques robustes et flexibles.
Nouveaux cadres numériques d’ordre élevé pour l’asymptotique des eaux peu profondes
Dans l’analyse numérique des modèles non linéaires en eaux peu profondes, deux grandes familles de méthodes coexistent. D’une part, les systèmes classiques de volumes finis (FV) sont extrêmement robustes : ils sont capables de gérer les chocs naturels, les zones sèches et les variations brusques de topographie sans s’effondrer. Cependant, ils fournissent généralement une précision initialement faible et ont tendance à être trop diffusifs. En revanche, les méthodes par éléments finis, notamment discontinuous Galerkin (DG), peuvent atteindre des ordres de précision arbitrairement élevés et sont bien adaptées aux géométries complexes, mais elles sont beaucoup plus sensibles aux instabilités numériques et nécessitent des mécanismes de stabilisation supplémentaires pour garantir la robustesse.
La stratégie numérique que j’ai développée vise à combiner le meilleur des deux mondes dans un cadre unique et cohérent. En nous appuyant sur une méthode initialement introduite par mon directeur de thèse François Vilar, nous avons reformulé le domaine de calcul en subdivisant chaque élément du maillage en subcells et permettre aux représentations FV et DG de coexister localement, rendant possible la fusion de deux paradigmes normalement incompatibles au sein d’une structure unifiée. Grâce à un mélange convexe entre les contributions volumes finis (responsables de la robustesse) et celles DG d’ordre élevé (responsables de la précision), la méthode s’adapte dynamiquement à la régularité locale de la solution. Cela garantit que le schéma reste préservant la positivité, stable autour des états stables et précis dans les régions lisses.
Ce cadre a d’abord été développé et analysé dans un cadre unidimensionnel, dans un travail axé sur la construction de la méthode et sur la préservation de certaines propriétés théoriques clés. Dans ce premier article, nous avons également proposé une extension naturelle de l’approche du Green–Naghdi équations, qui forment une correction dispersive du système NSW. En effet, dans ce contexte, les effets dispersifs sont reformulés comme un problème elliptique auxiliaire qui introduit un terme source supplémentaire dans les équations NSW. L’une des principales forces du cadre proposé réside précisément dans le traitement de ces termes sources : la méthode les traite de manière cohérente et unifiée, sans avoir recours à des artefacts numériques supplémentaires. La partie elliptique est résolue à l’aide d’un SWIP-DG (Pénalité intérieure pondérée symétrique Discontinuous Galerkin), garantissant stabilité et précision. Cette stratégie de couplage produit un modèle dispersif d’ordre élevé capable de capturer Green–Naghdi-type solutions avec une excellente précision et stabilité, tout en préservant la simplicité et la robustesse du solveur en eaux peu profondes.
Plus récemment, cette approche monolithique a été étendue aux maillages bidimensionnels non structurés. L’extension du cadre aux configurations bidimensionnelles représente une avancée majeure, tant techniquement que théoriquement. La formulation proposée résout avec succès ces difficultés et présente d’excellentes propriétés numériques : elle atteint une précision d’ordre élevé même sur des maillages grossiers et très irréguliers, tout en conservant sa robustesse en présence de bathymétries complexes, de fronts secs et de repères difficiles. Ces résultats confirment la polyvalence et l’efficacité de l’approche, ce qui en fait un outil prometteur pour les simulations réalistes à grande échelle des écoulements en eaux peu profondes.
Structures flottantes dans des régimes d’eau peu profonde
La demande croissante d’énergie marine renouvelable a motivé l’étude de dispositifs flottants capables de convertir le mouvement des vagues en électricité. D’un point de vue mathématique, ces systèmes impliquent des interactions fluide-structure complexes, dans lesquelles la dynamique d’un corps flottant doit être couplée à l’écoulement à surface libre. En collaboration avec David Lannes, nous développons un cadre théorique et numérique unifié pour décrire de telles interactions dans un régime asymptotique en eaux peu profondes, dans le but à la fois de cohérence mathématique et d’efficacité de calcul.
Le modèle résultant combine trois composants complémentaires : un système hyperbolique régissant l’écoulement extérieur (les équations non linéaires des eaux peu profondes), un ensemble d’équations différentielles ordinaires et un problème elliptique décrivant la distribution de pression interne. Construire un solveur stable et précis pour ce système couplé nécessite de traiter ces composants au sein d’une formulation unique et cohérente qui préserve les principaux invariants physiques et mathématiques.
Pour y parvenir, nous nous appuyons sur DG/FV cadre introduit dans la section précédente pour la partie hyperbolique, et sur les discrétisations avancées pour la composante elliptique basées sur Hybrid High-Order (HHO), qui sont des schémas de type éléments finis combinant des inconnues de cellules et de faces pour atteindre une précision d’ordre élevé tout en conservant la conservation locale, l’efficacité de calcul et la flexibilité sur des maillages très généraux. Ce travail en cours constitue la troisième contribution principale de ma thèse. Il fournit un cadre mathématiquement bien posé et numériquement efficace pour la simulation des interactions vague-structure dans des régimes d’eau peu profonde, avec des applications potentielles à l’étude et à l’optimisation des convertisseurs d’énergie houlomotrice et d’autres systèmes flottants pertinents pour les technologies marines renouvelables.